a-b
≤2，
c-a
≤2，
b-c
≤2.证明：从已知条件和待证明的内容分析，这应该是一个抽屉原理的模型。待求证的内容两边平方后得（a-b）2≤4,(c-a)2≤4,(b-c)2≤4,这样基本上思路就出来了：a+b+c≤4两边平方，得：a2+b2+c22ab2bc2ac=[2a2+2b2+2c22ab2bc2ac]+3ab+3bc+3ac=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]+3ab+3bc+3ac≤16；即：(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤32-6（ab+bc+ac）≤8；①假设三个不等式中最多一个成立，即其中至少两个绝对值大于2---反证法，逆否命题显然，当3个式子都大于2时，不等式①不成立，当其中两个式子大于2时，不妨假设
c-a
2和
b-c
2，那么(a-b)2≤8-(b-c)2-(a-c)28-4-4=0，这与平方数的非负性矛盾，因此命题得证。四、练一练1、将一条20cm长的铁丝剪成两段，每段都围成一个正方形，求这两个正方形面积的最小值。2、若xy=6，x2+y2=12，求证x=y。3、已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求（1）ab+bc+ac的值；（2）a4+b4+c4的值。4、因式分解：a2b2-a2+4ab-b2+1.5、已知a、b、c、d是整数，那么m=a2+b2，n=c2+d2，求证：mn也可以表示成两个整数的平方和。6、已知有理数a、b、c满足a+b=8，ab=c2+16，求a2+b2+c2的值。7、已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a、b、c、d都是正数，求证a=b=c=d。8、探索、研究:仪器箱按如图所示的方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、……),受堆放条件限制,推放时应符合下列条件:每层维放仪器箱的个数a,与层数n之间满足关系式an=n2-32n+,n为正整数。（1）求a5和a6的值。(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱?(用含n的代数式表示)(3)如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力,请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层,并说明理由;(4)设每个仪器箱重54N(牛顿),每个仪器箱能承受的最大压力为N,并且堆放时,每个仪器箱承受的压力是均匀的。①若仪器箱仅堆放第1,2两层,求第1层中每个仪器箱承受的平均压力;②在确保仪器箱不被损坏的情况下,仪器箱最多可以堆放几层?为什么?答案：1、设一段铁丝长xcm，则另一段为（20-x）cm，则面积和=[x2+(20—x)2],用配方法或者不等式都可以证明：当且仅当x=20-x时，即x=10cm时，面积最小12.5cm2；当x=0或者20cm时，面积和最大25cm2。2、2式减去1式乘以2，得（x-y）2=0，得证。3、（1）(a+b+c)2=a2+b2+c22ab2bc2ac=1+2(ab+bc+ac)=0，ab+bc+ac=-0.5；（2）(ab+bc+ac)2=a2b2+b2c2+a2c2+2ab2c+2a2bc+2abc2=a2b2+b2c2+a2c2+2abc(a+b+c)=a2b2+b2c2+a2c2=0.25(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+a2c2)=a4+b4+c4+0.5=1;∴a4+b4+c4=0.54、a2b2-a2+4ab-b2+1=a2b2+2ab+1-a2+2ab-b2=(ab+1)2-(a-b)2=(ab+a-b+1)(ab-a+b+1)5、mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+(a2d2+b2c2)=(ac+bd)2-2abcd+(ad-bc)2+2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2.证毕。6、消元法，a=8-b代入，解得a=b=4，c=0，所求结果为32.7、移项后得0=a4+b4+c4+d4-4abcd=（a2-b2）2+2a2b2+(c2-d2)2+2c2d2-4abcd=（a2-b2）2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2命题得证。8、（1）a5=,a6=91（2）an-an+1=n2-32n+-[(n+1)2-32(n+1)+]=31-2n用（1）的结果代入，正确。（3）an0，由题（2）以及图片信息，an-an+10，即31-2n0，即n最大15，代入表达式得a15=-8，a14=-5，a13=0（初一没有学一元二次不等式，我们可以用这种方法慢慢逼近答案），如果学过一元二次不等式后，n2-32n+0，即（n-13）(n-19)0,即n13或n19（舍去），最多12层。（4）①第2层共个，第一层共个，根据题意*54N②这个题目有点复杂，不一定第一层（最下面）所受的压力最大，我们必须经过计算才能得出正确的结果。但是命题人出题时以及他自己解答时应该没有想到这点，因此网上的答案都是错误的或者说不完整的。由于总共12层，我们不妨把每层数量列出表格考虑第一层的压力上限：*=N；因此最多能压个箱子。+++=594，而++++91=685，即最多放5层；考虑第二层上面最多能堆的箱子数量：*，满足；考虑第三层上面最多能堆的箱子数量：*，满足；考虑第四层上面最多能堆的箱子数量：*=，满足。因此，最多堆放5层。